Лабораторная работа №4 Методы численного интегрирования

Кафедра Математического моделирования
Лабораторная работа №4
Методы численного интегрирования

1. Цель и задачи работы
Целью работы является формирование у студентов навыков вычисления интегралов, знаний о достигаемой точности, необходимых ресурсах и областях применения изучаемых методов.
Задачи:
— изучение алгоритмов вычисления интегралов на основе группы методов Ньютона-Котеса;
— изучение алгоритмов вычисления интегралов на основе метода Гаусса.

2. Теоретическая справка
Для вычисления интегралов используются формулы механических квадратур, получаемые посредством интегрирования алгебраического полинома, интерполирующего подынтегральное выражение на заданном интервале.
Выделяют группу методов Ньютона-Котеса, алгоритмы которых строятся на равномерной сетке конечной совокупности равноотстоящих значений независимого переменного (узлов) приближающей непрерывную область интегрирования.
Точность методов зависит от порядка аппроксимирующего подынтегрального выражения полинома и расстояние между узлами и может быть улучшена применением на заданном интервале обобщённых формул Ньютона-Котеса.
Метод Гаусса, позволяющий достичь более высокой степени алгебраической точности, по сравнению с подходом Ньютона-Котеса предполагает построение формул механических квадратур на неравномерной сетке, узлы которой являются корнями ортогональных многочленов.
Для получения апостериорной оценки точности вычисления интеграла, а также для вычисления уточнённых значений используются методы Рунге-Ромберга, а также процесс Эйткена, предполагающие проведение серии вычислений интегралов на сгущающихся сетках.

3. Объект исследования
Объектом исследования является интеграл от заданной аналитически и таблично функции.
Решение задачи может быть реализовано:
— на пакете программ (программное обеспечение кафедры, программа «Math»), включаю¬щих изучаемые методы;
— на основе самостоятельно разработанной программы, созданной в среде «Pascal» или «MathCAD».

4. Задание на выполнение работы
Часть 1. Вычисление интегралов на основе групп методов Ньютона-Котеса
1. Вычислить интеграл с использованием формул:
— средних прямоугольников;
— трапеций;
— Симпсона (парабол).
2. Оценить полученную точность вычисленного значения интеграла.

Метод средних прямоугольников.
Если на отрезке [a,b] взять единственный узел квадратурной формулы x0, то функция аппроксимируется многочленом нулевой степени — константой f(x0). Поскольку симметрия формулы численного интегрирования приводит к повышению ее точности, то выберем в качестве единственного узла середину отрезка интегрирования . Получили формулу средних прямоугольников:………………..

Скачать полную версию можно по ссылке…
СКАЧАТЬ работу