Методы решений краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Кафедра математического моделирования
Лабораторная работа №6
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Цель и задачи работы
Целью работы является формирование у студентов навыков построения и применения численных моделей краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с ис-пользованием разностной аппроксимации дифференциальных операторов и соответствующих граничных условий, знаний о достигаемой точности, необходимых ресурсах и областях при-менения изучаемых методов.
Задачи:
— изучение методов построения разностных моделей краевой задачи;
— изучение алгоритмов решения краевой задачи с использованием разностной модели и методов факторизации, стрельбы и прогонки.

2. Теоретическая справка
В основу численных методов решения краевых задач для обыкновенных дифференци-альных уравнений положена идея разностного приближения исходного уравнения и соответ-ствующих краевых условий с последующим нахождением решений – функций целочислен-ного аргумента при помощи различных явных и неявных алгоритмов. Выбор алгоритма опре-деляется, как правило, спецификой задачи, располагаемыми ресурсами и требованиями к точности. Поскольку большинство получаемых при аппроксимации исходной линейной зада-чи разностных моделей является корректным, то основное внимание при построении числен-ного решения заданной точности уделяется согласованию точности аппроксимации исходных дифференциальных уравнений и граничных условий. Так как точность аппроксимации опре-деляется минимальным порядком точности аппроксимации уравнений или граничных усло-вий и приближение исходного уравнения проводится как правило с большей точностью, то основная сложность построения согласованной численной модели краевой задачи заключает-ся в подборе наивысшего порядка аппроксимации граничных условий.
В данной работе предлагается изучить различные методы аппроксимации граничных условий: метод фиктивных границ и метод повышения точности на основе уточняющих про-цедур Рунге-Ромберга, а также различные явные и неявные алгоритмы нахождения числен-ных решений: метод стрельбы, метод прогонки, метод факторизации.
Метод стрельбы
Основная идея метода заключается в замене вычислительных алгоритмов, построен-ных на основе неявных схем алгоритмами, использующими явные схемы. В методе стрельбы неявный процесс нахождения решения сводится к двум процессам явного нахождения част-ного и общего решения задач Коши с начальными условиями, формируемыми на основе ле-вого краевого условия. При этом решение краевой задачи представляется линейной комбина-цией решений указанных задач Коши, содержащей неопределённую константу, определяе-мую из правого краевого условия.
Метод прогонки
В методе прогонки неявные разностные соотношения преобразуются к виду, позво-ляющему находить последовательно решения краевой задачи из явных рекуррентных соот-ношений. Краевая задача в этом случае сводится к отысканию решений задачи Коши с на-чальными условиями, получаемыми на основе правых краевых условий, на классе функций, удовлетворяющих левому краевому условию. В методе выделяют два этапа. На первом этапе вычисляют перегоночные коэффициенты, входящие в структуру рекуррентных соотношений, а на втором последовательно определяют собственно решение краевой задачи.
Метод факторизации
Представляет собой специфическую схему разрешения системы разностных уравне-ний, приближающих исходную краевую задачу. Специфика решения сводится к представле-нию исходной матрицы в виде произведения двух треугольных матриц специального вида. В силу особенного характера исходной матрицы (трёхдиагональная структура) процесс нахож-дения решения сводится к двухэтапному процессу нахождения решений из последовательно-сти явных соотношений.
3. Объект исследования
Объектом исследования является краевая двухточечная задача для дифференциального уравнения 2-го порядка.
Решение может быть реализовано:
— на пакете программ (программное обеспечение кафедры, программа «Math»), вклю-чаю¬щих изучаемые методы;
— на основе самостоятельно разработанной программы, созданной в среде «Pascal» или «MathCAD».
4. Задание на выполнение работы
Часть 1. Изучение методов приближения краевой задачи.
1. Найти решение краевой задачи, используя:
• Метод стрельбы;
• Метод прогонки;
• Метод разностной аппроксимации с решением системы уравнений методом факто-ризации.
2. Сравнить методы по достигаемой точности и требованиям к ресурсам
Часть 2. Изучения методов аппроксимации граничных условий соотношениями более высокой точности.
1. Найти решение краевой задачи, на основе конечно-разностной разностной аппроксимации разрешающих соотношений с решением системы уравнений методом факторизации:
• используя для аппроксимации граничных условий метод фиктивных границ.
• используя для аппроксимации граничных условий уточняющие процедуры Рунге-Ромберга.
2. Сравнить полученные решения и оценить достигнутую точность.
5. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ.
Исходное уравнение *
Граничные условия. *

ЧАСТЬ 1. Изучение методов приближения краевой задачи
1. Найти решение краевой задачи, используя метод стрельбы, метод прогонки и метод разностной аппроксимации с решением системы уравнений методом факториза-ции

Метод стрельбы
Пусть требуется найти приближённое решение уравнения (в общем случае нелинейно-го) *,*.

* — формулы

Скачать полную версию можно по ссылке…
СКАЧАТЬ работу