Решение уравнений гиперболического типа

Кафедра математического моделирования
Лабораторная работа №8
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

1.Цель и задачи работы
Целью работы является формирование у студентов понимания некоторых аспектов построения численных моделей уравнений матфизики с использованием метода разностной аппроксимации, отработка навыков применения типовых алгоритмов для решения линейных уравнений гиперболического типа, формирование представления о достигаемой точности и понимание факторов ее определяющих, необходимых ресурсах для проведения вычислений и областях применения изучаемых методов.
Задачи :
• Изучение методов построения разностных моделей задач на основе уравнений гиперболического типа
• Изучение алгоритмов решения уравнений гиперболического типа на основе разностных моделей с использованием явных алгоритмов.

2.Теоретическая справка.
В основу численных методов решения гиперболических уравнений положена идея аппроксимации исходной задачи (уравнений и дополнительных условий) совокупностью алгебраических соотношений относительно сеточных значений заданных и искомых функций, выделенных в рамках определенного пространственно-временного шаблона области определения задачи. При этом исходной области определения D ставится в соответствие область дискретных значений Dh независимых переменных, непрерывные функции заменяются сеточными функциями, оцениваемыми по соответствующим нормам.
Собственно разрешающие соотношения, принимающие форму явных или неявных выражений относительно значений искомых сеточных функций, могут быть сформированы посредством различных алгоритмов: явной разностной аппроксимации дифференциальных операторов, а также посредством формальных процедур, вытекающих из требований минимизации невязки приближенного выражения по интегральной или чебышевской норме. Существенным моментом этого этапа является выбор параметров приближающей модели в соответствии с заданной точностью решения: параметры дискретизации пространственно-временного континуума области определения, формы и количества точек шаблона дельта окрестности разностной модели. Кроме того, на этом этапе необходимо обеспечить согласование точности аппроксимации собственно исходного уравнения и дополнительных условий.
На втором этапе главной задачей является выбор из всех возможных разностных моделей комплексов разрешающих соотношений, обладающих устойчивым характером поведения решений и минимальными требованиями к вычислительным ресурсам. Соответствующие требования устойчивости процесса вычислений обеспечиваются ограничениями на параметры сетки области определения в случае явных схем, а также искусственным ведением вязкостных членов в структуру разрешающих соотношений.
3. Объект исследования.
Объектом исследования является задача, сформированная на основе уравнения параболического типа.
Решение задачи может быть реализовано:
• на пакете программ (программное обеспечение кафедры), включающих изучаемые методы,
• на основе самостоятельно разработанной программы, создаваемой в среде “Pascal” или “Mathcad”.
4. Задание на выполнение работы.
Часть 1. Построение аппроксимации задачи с использованием метода разностной аппроксимации.
1. Построить аппроксимацию уравнения:
• На шаблонах типа «крест» дельта окрестности точки сеточной области Dh.
• Оценить точность аппроксимации уравнения
2. Построить аппроксимацию начальных и граничных условий, согласовав точность аппроксимации с точностью приближения исходного уравнений.
3. Сформировать ограничения, вытекающие из условия устойчивости разностной схемы и подчинить им параметры разностной модели.
Часть 2. Решение задачи
1. Найти решение задачи на интервале (t0 – T), используя параметры модели, соответствующие устойчивому поведению решения.
2. Найти решение задачи на интервале (t0 – T), используя параметры модели, соответствующие неустойчивому поведению решения. Для данных значений параметров (соотношений между шагами сетки по Х и по Т) рассмотреть случай решения задачи с заданием малого возмущения начального условия.
3. Сравнить поведения полученных решений и оценить достигнутую точность.
В расчетах принять точность вычислений ε =0,001
и диапазон вычислений ограничить интервалом 0-Т=10 сек.

5. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Часть 1. Построение аппроксимации задачи с использованием метода разностной аппроксимации
1. Построить аппроксимацию уравнения на шаблонах типа «крест» окрестности точки сеточной области Оценить точность аппроксимации

Метод сеток для уравнения гиперболического типа
Типичным примером одномерной задачи для гиперболического уравнения является задача малых колебаний струны с распределённой по длине нагрузкой

Скачать полную версию можно по ссылке…
СКАЧАТЬ работу