Решение уравнений параболического типа

Кафедра математического моделирования
Лабораторная работа №7
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

1. Цель и задачи работы
Целью работы является формирование у студентов понимания некоторых аспектов построения численных моделей уравнений математической физики с использованием метода разностной аппроксимации, отработка навыков применения типовых алгоритмов для решения линейных уравнений параболического типа, формирование представления о достигаемой точности, необходимых ресурсах и областях применения изучаемых методов.
Задачи:
— изучение методов построения разностных моделей задач на основе уравнений параболического типа;
— изучение алгоритмов решения уравнений параболического типа на основе разностных моделей с использованием явных и неявных алгоритмов.
2. Теоретическая справка
В основу численных методов решения параболических уравнений положена идея аппроксимации исходной задачи (уравнения и дополнительных условий) совокупностью алгебраических соотношений относительно сеточных значений заданных и искомых функций, выделенных в рамках определённого пространственно-временного шаблона области определения задачи. При этом исходной областью определения D ставится в соответствие область дискретных значений независимых переменных, непрерывные функции заменяются сеточным функциями, оцениваемые по соответствующим нормам. Собственно разрешающие соотношения, принимающие форму явных или неявных выражений относительно значений искомых сеточных функций, могут быть сформированы посредством различных алгоритмов: явной разностной аппроксимации дифференциальных операторов, а также посредством формальных процедур, вытекающих из требований минимизации невязки приближённого выражения по интегральной или чебышевской норме. Существенным моментом этого этапа является выбор параметров приближающей модели в соответствие с заданной точностью решения: параметры дискретизации пространственно-временного континуума области определения, формы и количество точек шаблона -окрестности разностной модели. Кроме того, на этом этапе необходимо обеспечить согласование точности аппроксимации собственно исходного уравнения и дополнительных условий. На втором этапе главной задачей является выбор из всех возможных разностных моделей комплексов разрешающих соотношений, обладающих устойчивым характером поведения решений и минимальными требованиями к вычислительным ресурсам. Соответствующие требования устойчивости процесса вычислений обеспечиваются ограничениями на параметры сетки области определения в случае явных схем, а также искусственным введением вязкостных членов в структуру разрешающих соотношений.

3. Объект исследования
Объектом исследования является задача, сформированная на основе уравнения параболического типа.
Решение может быть реализовано:
— на пакете программ (программное обеспечение кафедры, программа «Math»), включаю¬щих изучаемые методы;
— на основе самостоятельно разработанной программы, созданной в среде «Pascal» или «MathCAD».
4. Задание на выполнение работы.
Часть 1. Построение аппроксимации задачи с использованием методов разностной аппроксимации, интегро-интерполяционного метода и метода минимизации невязки.
1. Построить аппроксимацию уравнения:
• На шаблонах ┴ и ┬ дельта окрестности точки сеточной области Dh.
• Оценить точность аппроксимации уравнения
2. Построить аппроксимацию начальных и граничных условий, согласовав точность аппроксимации с точностью приближения исходного уравнений.
3. Сформировать ограничения вытекающие из условия разностной схемы и подчинить им параметры разностной модели.
Часть 2. Решение задачи
1. Найти решение задачи на интервале (t0 – T), используя:
• рекуррентные соотношения явной схемы
• любой известный алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений для неявной схемы.
2. Сравнить полученные решения и оценить достигнутую точность.
В расчетах принять точность вычислений ε =0,001 и диапазон вычислений ограничить интервалом 0-Т=10 сек……………

Скачать полную версию можно по ссылке…
СКАЧАТЬ работу