Представление аналитичской функции рядами и Особые точки

Лекция 4 спецглавы высшей математики
§7. Представление аналитичской функции рядами.
7.1. Ряды Тейлора.
7.2. Ряды Лорана.
§8. Особые точки.
8.1. Классификация особых точек.
8.2. Разложение в ряд Лорана в окресности особых точек.Лекция 4
§7. Представление аналитичской функции рядами.
7.1. Ряды Тейлора.
7.2. Ряды Лорана.
§8. Особые точки.
8.1. Классификация особых точек.
8.2. Разложение в ряд Лорана в окресности особых точек.

ЛЕКЦИЯ 4.

1. Представление аналитической функции рядами.
1.1. Ряды Тейлора.
1.2. Ряды Лорана.
2. Классификация особых точек.
3. Разложение в ряд Лорана в окрестности особых точек.

§ 7. Представление аналитической функции рядами.
7.1. Ряды Тейлора.

Обобщим на случай функции комплексного переменного формулу ряда Тейлора.
Для комплексных чисел справедлива формула суммы геометрической про-грессии:

Рассмотрим функцию ƒ(z) — аналитичную в некоторой области D. Замкну-тый контур C*D, **С.
Пусть точки z и а находятся внутри контура С; а — произвольная точка. Со-ставим отношение:

Учитывая формулу геометрической прогрессии, это выражение можно за-писать в виде:

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем полу-ченное выражение по * вдоль замкнутого контура С:

На основании формулы Коши и формулы для высших производных полу-чим:
(38)
Если остаток Rn*0 при n**, то формула (38) есть формула ряда Тейлора для функции ƒ(z):

Ответ на вопрос, при каких условиях полученный ряд сходится, т.е. когда Rn*0 при n** даёт теорема, доказанная О. Коши в 1831 г.
Теорема 10. Функция ƒ(z) представима своим рядом Тейлора в любом кру-ге | z-a | < R с центром в точке а, в котором она аналитична:
Во всякой замкнутой области, принадлежащей этому кругу, ряд Тейлора сходится равномерно.
Можно также доказать равносильность понятий об аналитической функ-ции, как о функции, дифференцируемой в каждой точке области определения и как о функции, представимой в окрестности каждой такой точки в виде ряда Тей-лора (39).
С помощью рядов Тейлора удобно представлять функции, аналитические в круговых областях радиуса R.
Но иногда приходится рассматривать области другого вида. Например, ес-ли функция ƒ(z) является аналитической всюду, кроме точки z = a, то областью аналитичности функции может служить кольцо:
r < | z — a | < R, r *0, R **
(не исключается случай, когда r = 0, R = ), где а — фиксированное ком-плексное число.
Если с помощью рядов Тейлора можно представлять аналитические в кру-говых областях функции, то для функций аналитических в кольцевых областях (к), этой цели служат ряды Лорана.

7.2. Ряды Лорана.
Естественно поставить вопрос: можно ли функции, аналитической в неко-тором круговом кольце (к), сопоставить ряд Лорана, сходящийся к этой функции в данном кольце?
Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.
Теорема II. (И. Лоран, 1843 г.)
Функция ƒ(z), аналитическая в круговом кольце r < | z — a | < R однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана.

(разложение единственно!).
Коэффициенты разложения определяются по формуле

где С — замкнутый контур, лежащий в указанном кольце и содержащий точ-ку а внутри (рис. 19).
Полученный ряд сходится равномерно в каждой замкнутой области, при-надлежащей целиком данному кольцу.
Теорема устанавливает возможность и единственность разложения функ-ции в ряд Лорана.
В формуле (40):…………………….

Скачать полную версию можно по ссылке…
Скачать лекцию №4