Формула Коши (1831 г.)

Лекция 3 спецглавы высшей математики
§6. Формула Коши.
6.1. Формула Коши. Формула среднего значения.
6.2. Производные высших порядков.
6.3. Теорема Морера.Лекция 3
§6. Формула Коши.
6.1. Формула Коши. Формула среднего значения.
6.2. Производные высших порядков.
6.3. Теорема Морера.

Лекция 3.
1. Формула Коши. Формула среднего значения.
2. Производные высших порядков.
3. Теорема Морера.

§ 6.1 Формула Коши (1831 г.)

Теорема 7.
Пусть задана функция f(z), аналитическая в многосвязной (n-связной) области D и непрерывная в D, и задан составной или про-стой контур С, ограничивающий некую область G D (рис. 17). То-гда для любой внутренней точки а G справедлива формула Коши:
Доказательство.
Удалим из области G окружность радиуса E с цетром в точке а. В полученной таким образом двусвязной области
G*={z G:|z-a|>E}
числитель и знаменатель подинтегральной функции анали-тичны относительно z, причем знаменатель нигде не обращается в ноль: |z-a|>E 0.
Следовательно, подинтегральная функция аналитичная в области G*.
G*.
Тогда, на основании теоремы 6 (для интеграла по границе много-связной области).

Очевидно, что
f(z)=f(a)+f(z)-f(a)
Тогда *
Вычислим первый интеграл, стоящий в правой части равенства и уч-тем, что на окружности СЕ справедливы следующие соотношения:*……………

Скачать полную версию можно по ссылке…
СКАЧАТЬ работу