Некоторые элементарные функции комплексного переменного

Лекция 2 спецглавы высшей математики
§4. Некоторые элементарные функции комплексного переменного.
4.1. Степенная функция.
4.2. Показательная и логарифмическая функции.
4.3. Тригонометрические функции.
4.4. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.
§5. Интегрирование функций комплексного переменного.
5.1. Понятие интеграла от функции комплексного переменного.
5.2. Основная теорема Коши и ее приложения.Лекция 2
§4. Некоторые элементарные функции комплексного переменного.
4.1. Степенная функция.
4.2. Показательная и логарифмическая функции.
4.3. Тригонометрические функции.
4.4. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.
§5. Интегрирование функций комплексного переменного.
5.1. Понятие интеграла от функции комплексного переменного.
5.2. Основная теорема Коши и ее приложения.

§ 4. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ФКП).

Рассматриваемые ниже функции являются естественным распространением в комплексную область обычных для анализа элементарных функций. Но при таком распространении функции приобретают иногда новые свойства, например, показательная ФКП оказывается периодической, функции и пере-стают быть ограниченными, приобретают смысл логарифмы от-рицательных чисел (и вообще любых комплексных чисел, от-личных от нуля) и т.п.
Теория элементарных ФКП была в основном создана Лео-нардом Эйлером в его работах сороковых годов XVIII в. Работы Эйлера намного опережали свою эпоху; например, его теория логарифма была признана лишь с большим трудом и далеко не сразу.

4.1. Функции и ; — целое.

а) Степенная функция , где — целое, неперерыв-на на всей комплексной плоскости.
Так как алгебра и свойства предельного перехода сохра-няется для комплексных переменных, то

Функция является аналитической функцией на всей ком-плексной плоскости.
Наиболее наглядно рассматриваемая функция представля-ется относительно своих полярных координат

т.е.отображение спомощью функции поворачивает исход-ный вектор на угол и растягивает его в раз.
Точки и ,имеющие одинаковые модули, аргументы, отличающиеся на слагаемое, кратное и только такие точки отображаются в одну и ту же точку плос-кости , т.е……………..

Скачать полную версию можно по ссылке…
Скачать лекцию №2