Скачать реферат Логика предикатов с одним переменным

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . .. . . . . . . . . . . . . . .3
Основные понятия . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .4
§1. Логика предикатов с одним переменным . . . . . . . . . . . . . .5
§2. Практика по решению проблемы разрешимости формул, содержащих пре-дикаты от одного переменного . . .9
Литература . . . . . . 12ВВЕДЕНИЕ

Проблема разрешимости — эта проблема ставится для формул исчисления предикатов, лишённых символов постоянных предметов и символов индивиду-альных предикатов. В последующем изложении предполагается, что рассмат-риваемые формулы таковы (если не сделано специальных оговорок).
Каждая такая формула представляет собой определённое утверждение, ис-тинное или ложное, когда оно относится к определённому полю M.
Если такая формула истинна для некоторого поля M и некоторых предика-тов, на нём определённых, мы будем называть её выполнимой.
Если формула истинна для данного поля M и для всех предикатов, опреде-лённых на M, мы будем называть её тождественно истинной для поля M.
Если формула истинна для всякого поля M и для всяких предикатов, будем называть её тождественно истинной или просто истинной.
Формула называется ложной или невыполнимой, если ни для какого поля ни при каких замещениях предикатов она не является истинной. Легко показать, что если формула U тождественно истинна, то формула ложна, и наоборот.
Постановка проблемы разрешимости для логики предикатов аналогична по-становке этой проблемы для алгебры высказываний. Её решение и является це-лью данной курсовой работы. Итак, проблема ставится следующим образом: дать эффективный способ для определения — является ли данная формула вы-полнимой или нет.
Умея решать вопрос о выполнимости, мы тем самым сможем решать и во-прос об истинности любой формулы. В самом деле, если формула U истинна, то формула невыполнима, и обратно. Поэтому, доказав выполнимость или невыполнимость , мы тем самым проверим истинность U. Проблема разре-шимости для логики предикатов является усилением проблемы разрешимости для исчисления высказываний, так как все формулы исчисления высказываний входят в число формул логики предикатов. Однако в то время как решение проблемы разрешимости для исчисления высказываний никаких трудностей не представляет, проблема разрешимости для логики предикатов оказалась свя-занной с серьёзными трудностями.
Современные исследования пролили свет на природу этих затруднений. В настоящее время представляется достаточно ясным, что решение этой пробле-мы в указанном смысле вообще невозможно. Иначе говоря, не может сущест-вовать никакого конструктивного правила, которое позволяло бы определять для любой формулы логики предикатов, является ли она тождественно истин-ной или нет. Для некоторых частных типов формул, однако, проблема разре-шимости решается. Мы рассмотрим наиболее важный тип формул, для которых решение проблемы разрешимости может быть осуществлено, это формулы ло-гики предикатов, зависящие от одного переменного.

Основные понятия
Пусть M — некоторое множество предметов и a, b, c, d — какие-то определён-ные предметы из этого множества. Тогда высказывания об этих предметах мы будем обозначать в виде
P(a), Q(b), R(c, d) и т.д.
P(a) обозначает высказывание о предмете a, Q(b) — высказывание о предмете b, R(c, d) — высказывание о предметах c и d и т.д.
Такие высказывания могут быть как истинны, так и ложны, обозначаемые соответственно символами И и Л. Эти значения ставятся в соответствие опре-делённым предметам или группам предметов.
Пусть M — произвольное непустое множество, а x представляет собой произ-вольный предмет из этого множества. Тогда выражение F(x) обозначает выска-зывание, которое становится определённым, когда x замещено определённым предметом из M. F(a), F(b), … уже представляют собой вполне определённые высказывания. Например, если M натуральный ряд, то F(x) может обозначать: \» x есть простое число\».
Это неопределённое высказывание становится определённым, если x заме-нить некоторым числом, например: \»3 простое число\», \»4 простое число\» и т. д.
Пусть S(x,y) обозначает: \» x меньше y\».
Это высказывание становится определённым, если x и y заменить числами: \»1 меньше 3\», \»5 меньше 2\» и т. д.
Так как с нашей точки зрения каждое определённое высказывание представ-ляет собой И или Л, то выражение F(x) означает, что каждому предмету из M поставлен в соответствие один из двух символов И или Л. Иначе говоря, F(x) представляет собой функцию, определённую на множестве M и принимающую только два значения И и Л. Таким же образом неопределённое высказывание о двух и более предметах H(x, y), G(x, y, z) и т. д. предвтавляет собой функцию двух, трёх и т. д. переменных. При этом переменные x, y, z пробегают множест-во M, а функция принимает значения И и Л. Эти неопределённые высказыва-ния, или функции одного или нескольких переменных, мы будем называть ло-гическими функциями или предикатами. Предикатом с одним переменным можно выразить свойство предмета, например \» x есть простое число\», \» x — прямоугольный треугольник\» и т.д.
Все понятия, которые мы будем вводить, относятся всегда к некоторому произвольному множеству M, которое мы будем называть полем. Элементы этого поля будем обозначать малыми латинскими буквами (иногда эти буквы мы будем снабжать индексами). Буквы конца латинского алфавита
x, y, z, u, v, x1, x2, …
обозначают неопределённые предметы поля. Их мы будем называть предмет-ными переменными. Буквы начала алфавита
a, b, c, a1, a2, …
обозначают определённые предметы поля. Их мы будем называть индивидуаль-ными предметами или предметными постоянными.
Большими латинскими буквами
A, B, …, X, A1, A2, …
мы будем обозначать переменные, принимающие значения И и Л. Их мы на-зовём переменными высказываниями. Мы будем также рассматривать и посто-янные высказывания. Их мы будем также обозначать большими латинскими буквами, как-нибудь отмеченными или просто с дополнительной оговоркой.
Большие латинские буквы и символы предикатов как индивидуальных пред-метов, так и от предметных переменных мы будем называть элементарными формулами.
Мы будем говорить, что в формулах
(х) U(х) и (х) U(х)
кванторы (х) и (х) относятся к переменному х или что переменное х связано соответствующим квантором.
Предметное переменное, не связанное никаким квантором, мы будем назы-вать свободным переменным.
Формулы, в которых из операций алгебры высказываний имеются только операции , и , а знаки отрицания относятся только к элементарным пре-дикатам и высказываниям, будем называть приведёнными формулами.
Приведённая формула называется нормальной, если она не содержит кван-торов или если при образовании её из элементарных формул операции связы-вания квантором следуют за всеми операциями алгебры высказываний.
Если две формулы U и B, отнесённые к некоторому полю M, при всех заме-щениях переменных предикатов, переменных высказываний и свободных пред-метных переменных соответственно индивидуальными предикатами, опреде-лёнными на M, индивидуальными высказываниями и индивидуальными пред-метами из M, принимают одинаковые значения И или Л, то мы будем говорить, что эти формулы равносильны на поле M.
Если две формулы равносильны на любых полях M, то мы будем их называть просто равносильными.
Нормальную формулу, равносильную некоторой формуле U, мы будем назы-вать нормальной формой формулы U.

§1. Логика предикатов с одним переменным

Мы будем рассматривать формулы логики предикатов, содержащие предика-ты, которые зависят только от одного переменного. Логика, в которой упот-ребляются только такие выражения, соответствует той, которая описана Ари-стотелем и вошла как традиционный элемент в систему гуманитарного образо-вания. Известные формы высказываний этой логики и формы умозаключений, так называемые «модусы силлогизмов», выражаются полностью в символике логики предикатов от одного переменного.
Теорема. Если формула логики предикатов, содержащая только преди-каты от одного переменного, выполнима на некотором поле M, то она выпол-нима на поле , содержащем не более элементов, где n — число предика-тов, входящих в рассматриваемую формулу.
Пусть формула U(A1, …, An), содержащая только символы предикатов A1, …, An, каждый из которых зависит от одного переменного, выполнима на некото-ром поле M. эту формулу мы можем предполагать представленной в нормаль-ной форме, а все предметные переменные в ней связанными. В самом деле, ка-кова бы ни была формула U, мы можем, произведя над ней преобразования, привести её к виду, в котором все кванторы предшествуют остальным симво-лам формулы, при этом состав её предикатов и предметных переменных не из-меняется. Если в U есть свободные предметные переменные, то можно связать их квантором общности.

Скачать можно по ссылке…