Лаборторные работы по курсу Планирование эксперимента

Кафедра прикладной математики и информатики
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Лабораторная работа № 1 — Полный и дробный факторный эксперимент
Лабораторная работа № 2 — МЕТОД СЛУЧАЙНОГО БАЛАНСА
Лабораторная работа № 3 — ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОМПОЗИЦИОННЫЕ ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Лабораторная работа № 4 — ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучение методов реализации и обработки результатов полного и дробного факторных экспериментов.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА
В полном (ПФЭ) и дробном (ДФЭ) экспериментах каждый из факторов варьируется на двух уровнях. Поэтому всегда можно провести нормализацию факторов так, чтобы рассматриваемым уровням каждого фактора соответствовали значения +1 (верхний уровень) и –1 (нижний уровень).
Модель, которую можно построить, используя ПФЭ, включает в себя все линейные факторы и все эффекты взаимодействия. Так, для 3-х факторов можно построить модель вида
*,*
где* , – эффекты взаимодействия.
Число точек спектра плана ПФЭ . Геометрически точки плана ПФЭ размещаются в вершинах гиперкуба.
План называется насыщенным, если число точек плана равно числу оцениваемых параметров модели. По отношению к модели, учитывающей все эффекты взаимодействия, ПФЭ представляет собой насыщенный план. Для рассматриваемого примера плана матрица имеет вид таблицы…..

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью является знакомство с одним из специальных методов планирования – методом случайного баланса.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Описание метода
Метод случайного баланса предназначен для выделения наиболее существенных входных переменных среди большого числа линейных факторов и парных взаимодействий в многофакторном процессе. При построении регрессии, линейной по параметрам, требуется включать все или, по крайней мере, все существующие входные переменные. Это связано с требованием получения модели, адекватной рассматриваемому объекту. Привлечение всего множества переменных к составлению математического описания требует большого объема экспериментальных и вычислительных работ. Поэтому возникает задача предварительного отсеивания несущественных переменных и выделение тех входных величин, которые оказывают наиболее заметные влияния на отклики системы.
Если априорно известно, что из всего вектора только 10 – 15 % являются действительно существенными, а остальные можно считать принадлежащими к шумовому полю, то можно воспользоваться одним из методов отсеивающего эксперимента – методом случайного баланса. Предполагается, что вклады переменных , образуют затухающую экспоненту по степени их влияния на отклик. Метод заключается в том, что вместо дробных реплик, которые представляют собой систематические ортогональные выборки из полного факторного эксперимента, берутся случайные выборки. Векторы-столбцы матрицы планирования в этом случае будут практически некоррелированы друг с другом. Совместные оценки становятся смешанными случайным образом. Математическая модель объекта имеет вид:
*** ,
где *** – число значимых переменных;
***– число незначимых переменных;
*** – помеха.
В качестве и принимаются линейные факторы и парные взаимодействия.
На практике метод применяется при изучении более 8 – 10 факторов.
Построение матрицы планирования
Все линейные факторы разбиваются на группы, при этом взаимодействующие факторы, по возможности, необходимо включать в одну группу.
Если априорной информации недостаточно, о разбиение производится формально с использованием таблиц случайных чисел. Все групповые матрицы должны иметь одинаковое количество строк.
Число N строк каждой матрицы должно быть равно степени двойки. План отсеивающего эксперимента образуется путем стыковки групповых матриц. В качестве примера в модели возьмем 6 факторов и разобьем их на две группы: 1 – , , , 2 – , , . Каждой группе соответствует матрица ПФЭ (табл.1).
Общая матрица случайного баланса строится путем построчной стыковки после рандомизации ее строк с помощью таблицы случайных чисел…………..

]

*формулы выберем систему базисных функций следующим образом *формулы
регрессионную модель будем искать в виде*формулы
xicp выбирается из условия ортогональности столбцов f7,f8,f9 столбцу f0 *формулы

ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Исследование влияния различных факторов на изменчивость средних.
2.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА
В сложных промышленных процессах число различных факторов может быть большим (от десятков до нескольких сотен), причём степень влияния этих факторов, весьма различна. Как правило, лишь небольшое число факторов оказывает влияние на выходную величину процесса.
Дисперсионный анализ относится к тем методам, которые при выполнении соответствующих условий, позволяют выявить значимые с помощью небольшого числа экспериментов.
Дисперсионный анализ основывается на линейной по параметрам математической модели исследуемых процессов.
Так, для двухфакторного эксперимента в качестве модели используется выражение:
***
где — суммарный эффект во всех опытах (истинное среднее совокупности, из которой получается выборка);
— эффект от фактора x1 на i-м уровне (i=1…k – число уровней факторов);
— эффект фактора x2 на j-м уровне (j=1,…m);
— экспериментальный результат, полученный с i-м уровнем фактора x1, j-м уровнем фактора x2;
— ошибка измерения (k=1,…n).
Относительно ошибки предполагается, что её математическое ожидание равно нулю и что значения ошибки некоррелированы;***
Линейная по параметрам модель с учётом эффекта взаимодействия имеет вид:***
где — эффекты взаимодействия факторов x1, x2.
Для сокращения числа опытов в дисперсионном анализе аналогично, как и в планировании эксперимента, возможна реализация дробного факторного эксперимента.
При этом сокращение числа переборов в ДФЭ приводит к потере информации. Реализация ДФЭ в дисперсионном анализе производится за счёт использования в построении плана латинских квадратов. Схема латинского квадрата была введена впервые Фишером.
Латинский квадрат представляет собой квадратную таблицу, составленную из n элементов (чисел, букв), таким образом, что бы каждый элемент повторялся в каждом столбце и в каждой строке только один раз. Так латинский квадрат имеет вид:
А В С
В С А
С А В
Такого рода квадраты строятся путём одношаговой циклической перестановки.
При применении латинского квадрата предполагается незначимость эффектов взаимодействия.

Скачать полную версию можно по ссылке…
СКАЧАТЬ работу