Элементы математической статистики

Элементы математической статистики лекция + ТИПОВОЙ РАСЧЕТ на тему МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТАТИСТИКА И
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЭлементы математической статистики
лекции
Введение.
Статистика (stato — состояние ) — это совокупность данных наблюдений, статистическая совокупность — это, как правило, количественная оценка исследуемого явления, собранная из разных источников или в одном месте в разное время (числовые значения). Практически любое статистическое исследование базируется на некоторой выборке, состоящей из случайных величин (CВ). Различаются случайные величины дискретного (прерывного) и непрерывного типа. Возможные значения дискретных СВ могут быть заранее перечислены. Допустимые значения непрерывных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток конечный или бесконечный. Кроме того существует СВ смешанного типа. В дальнейшем рассматриваются только непрерывные и дискретные величины. Под законом распределения СВ понимается соотношение, устанавливающее связь между возможными множествами значений случайной величины и соответствующим им вероятностями.
Законом распределения дискретной СВ является таблица соответствий возможных значений и вероятностей носит название — ряд распределения. Графическое представление — полигон, гистограмма. Каждое из значений Х= xi дискретной СВ возможно, но не достоверно, поэтому может принять каждое из них с некоторой вероятностью pi.=Р(Х=xi).Сумма вероятностей всех возможных значений равна единице. условие нормировки
Для непрерывных СВ величин табличное представление оказывается невозможным, поэтому, применяется вероятность не отдельного значения события , а некоторого интервала значений, т.е. применяется функция распределения . Эта функция иногда называется интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения
Функция – производная функции распределения характеризует плотность распределения. С условием нормировки Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения.
Генеральной совокупностью — называется совокупность, включающая в себя все возможные значения данных CВ. Такую совокупность практически трудно создать в силу бесконечного ее объема, поэтому чаще всего статистика оперирует с некоторой частью генеральной совокупности, которая называется — выборкой. Под случайной повторной выборкой объема n понимают совокупность случайных величин , не зависимых между собой. Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее — какое именно.
Случайная повторная выборка есть математическая модель проводимых в одинаковых условиях независимых измерений. В противном случае выборка называется бесповторной.
Задачи статистических наблюдений :
Учет явлений (как правило в количественном измерении) ; на основе которого проводится деление (обобщение) однородных явлений; при любых статистических исследованиях обязательно должно бытьдостаточно много наблюдений (испытаний, опытов); это необходимо для того, чтобы получить достоверные результаты ;
1. Аккуратная регистрация наблюдений (опытов) ;
2. Строгое соблюдение размеренности величин, соответствие точности.
3. Обрабатывая статистическими методами выборочные наблюдения, должны получать результаты, которые соответствуют всей генеральной совокупности.
Целью статистических исследований является :
–анализ существующего положения ;
–выявление тенденций ;
–прогнозирование на будущий период наблюдаемых показателей.
Математическая статистика — наука, занимающаяся определением по опытным данным (полученным на основе наблюдений) вероятностей элементарных событий и их характеристики, которые в теории вероятностей предполагались заданными. Чаще, впрочем, приходится определять на основе наблюдений над случайной величиной ее закон распределения. В большинстве случаев исходные статистические данные — результат наблюдения некоторой конечной совокупности случайных величин Х=(Х1, Х2, … ,Xп), характеризующей исход изучаемого) эксперимента. Обычно говорят, что эксперимент состоит в проведении n испытаний, в которых результат i-го испытания описывается величиной Xi (i=1,2,…, n). Совокупность наблюдаемых случайных величин Х=(Х1, Х2, …, Xп) называется выборкой, сами Xi (i=1,2,…, n) — элементами выборки, а их число n — объемом выборки. Реализации выборки Х обозначают соответствующими строчными буквами х=( х1, х2,…, хп),
Рассматривают два типа выборок:
– повторные, если наблюдения проводятся при повторяющихся условиях и при этом случайные величины Xi (i=1,2,…, n) независимы и одинако распределены;
– бесповторные, если условие повторности нарушается, т.е. невыпоняется хотя бы одно из условий независимости и одинаковой распределенности случайных величин Xi (i=1,2,…, n).
Вся совокупность значений, которые могут принимать наблюдаемые величины Xi называется генеральной совокупностью, а ее числовые характеристики генеральными в отличии от выборочных подсчитанных на основе реализации выборки.
Вариационным рядом — называется ранжированная (упорядоченная по возрастанию) совокупность дискретных значений и соответствующая каждому значению частота. Вариационный ряд может быть дискретным и интервальным (сгруппированным).Вариационный ряд можно считать распределенным признаком. Сгруппированный вариационный ряд состоит не из конкретных значений совокупности, а из некоторых интервалов этих значений и соответствующих каждому интервалу частот.
Другими словами, в интервальном вариационном ряде объединяются (группируются) несколько значений совокупности, как некоторый интервал. Интервалы могут быть разными или одинаковыми для совокупности . Для построения интервального вариационного ряда определяется ширина интервала ряда распределения
Размер (ширина, величина) интервала h может быть рассчитана по эмпирической формуле Стерджесса или назначена из других соображений.
Для простоты рассуждений в данной работе вычислим интервал по формуле и назначим его близким к вычисленному и одинаковым по всей совокупности.
Пусть имеется совокупность в n значений — х1, х2,…,хn представленную в порядке наблюдений. Расположим ее по рангу, т.е. от меньшего к большему. Получим совокупность в другом порядке, но того же объема — п значений . Обозначим ее так же как х1, х2,…,хn.
Приближенное значение h вычисляется по эмпирической формуле Стерджесса: , где Xmax- наибольшее значение варианта в данном ряду; Xmin — наименьшее значение варианта в данном ряду; п — общее число наблюдений в данном ряду или количество вариант (объем выборки).
За окончательное значение h принимается значение, близкое к расчетному, но округленное так, чтобы интервалы оказались удобными для расчетов.
Ширину интервалов можно принимать одинаковой и разной для различных интервалов вариационного ряда.
Для каждого интервала (Xmin–Xmax)i рассчитываются частоты – mi, частость — ni, накопленная частота — Мi, среднее интервальное значение — Xi. Частота — mi — абсолютное количество значений совокупности, включенных в интервал i.
Частость — ni — относительная частота или частота , отнесенная к общему количеству наблюдений , т.е. ni = mi / п.
Накопленная частота — Мi — абсолютное количество значений совокупности, включенных в данный и все предыдущие интервалы. Поэтому для первого интервала M1 = m1, для последовательного интервала Мk = п
Если открытым интервалом является первый, то для расчета среднеинтервального X1 — формируют для первого интервала (Xmin)1= (Xmax)1 – h аналогично, если открытым является последний интервал, то формируют Xmax для последнего интервала равным (Xmax)n=(Xmin)n+h, вне зависимости от того, какие истинные значения в интервале…………

Т И П О В О Й Р А С Ч Е Т
на тему
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

1.ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Задание 1
а)Случайные. величина Xi с одинаковой вероятностью может принимать одно из двух значений i a или * i a и значение 0 с вероятностью 0,5. Выяснить, удовлетворяет ли последовательность Х1, Х2 ,…, Хп попарно независимых сл. величин закону больших чисел. Решить задачу для двух значений параметра………………

Скачать полную версию можно по ссылке…