Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Н. С. Бахвалов
Численные методы (анализ, алгебра, обыкновен¬ные дифференциальные уравнения), Н. С. Бахвалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1975 г.
Формат: DjVu
Качество: Отсканированные страницыЧисленные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Н. С. Бахвалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1975 г.
В книге рассматриваются основные положения численных методов, относящиеся к приближению функций, интегрированию, задачам алгебры и опти¬мизации, решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Значительное внимание уделяется вопросам вы¬бора методов и организации вычислений при решении большого числа однотипных задач.
Книга предназначена для студентов университе¬тов и технических вузов с расширенной программой по математике, специализирующихся по прикладной и вычислительной математике, а также для лиц, интересующихся теорией и практикой численных методов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Введение
ЧАСТЬ I. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Глава I. Погрешность результата численного решения задачи
Источники н классификация погрешности
Запись чисел в ЭВМ
Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных
О вычислительной погрешности
Погрешность функции
II. Интерполяция и смежные вопросы
Постановка задачи приближения функций
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа
Разделенные разности и их свойства
Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями
Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами
Уравнения в конечных разностях
Многочлены Чебышева
Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы
Конечные разности
Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков
Интерполяционные формулы Бесселя и Эверетта. Составление таблиц
О погрешности округления при интерполировании
Применение аппарата интерполирования. Обратная интерполяция
Ортогональные системы и их свойства
Ортогональные многочлены
Численное дифференцирование
О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования
Глава III. Численное интегрирование
Квадратурные формулы Ньютона — Котеса
Оценка погрешности квадратурной формулы на классе функций
Квадратурные формулы Гаусса
Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул
Интегрирование сильно осциллирующих функций
Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезкана равные части
О постановках задач оптимизации
§ 8 Оптимальные квадратуры на классах функций с одной производной .
§ 9 Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы
§ 10 Примеры оптимизации распределения узлов .
§ 11 Главный член погрешности
§ 12 Формулы Эйлера и Грегори .
§ 13 Правило Рунге практической оценки погрешности
§ 14 Формулы Ромберга .
§ 15 Эксперименты и их обсуждение .
§ 16 Вычисление интегралов в нерегулярном случае .
§ 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим
выбором шага . .
§ 18 Стандартные программы численного интегрирования
Глава IV. Приближение функций и смежные вопросы
§ 1 Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве
§ 2 Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении . .
§ 3 Дискретное преобразование Фурье
§ 4 Быстрое преобразование Фурье
§ 5 Наилучшее равномерное приближение
§ 6 Примеры наилучшего равномерного приближения
§ 7. Итерационный метод построения многочлена наилучшего равномерного приближения .
§ 8 О форме записи многочлена .
§ 9 О способах вычисления элементарных функций
§ 10 О скорости приближения функций различных классов . 253
§ 11 Интерполяция и приближение сплайнами . . 256
§ 12 Энтропия и е-энтропия . … 262
Глава V Многомерные задачи … . 270
§ 1 Метод неопределенных коэффициентов . . 271
§ 2 Метод наименьших квадратов . . … 272
§ 3 Метод регуляризации . . . . . 274
§ 4 Пример регуляризации . . . . 275
§ 5 Сведение многомерных задач к одномерным . …. 281
§ 6 Оценка погрешности численного интегрирования по равномерной
сетке . …. 289
§ 7 Оценка снизу погрешности численного интегрирования . . 292
§ 8 Об оптимизации оценки погрешности на более широких классах
способов интегрирования . . . 295
§ 9 Метод Монте-Карло . . … 300
§ 10 Обсуждение правомерности использования недетерминированных
методов решения задач 305
§ 11 Ускорение сходимости метода Монте-Карло … . 307
§ 12 Квадратурные формулы повышенной точности со случайными
узлами 311
§ 13 О выборе метода решения задачи . . . …. 316
ЧАСТЬ II ЗАДАЧИ АЛГЕБРЫ И ОПТИМИЗАЦИИ
Глава VI Численные методы алгебры 323
§ 1 Методы последовательного исключения неизвестных …. 324
§ 2. Метод ортогонализации . . 333
§ 3 Метод простой итерации
§ 4 Исследование реального итерационного процесса . . . § 5 Спектр семейства матриц
§ 6 б2-процесс практической оценки погрешности и ускорения схо¬димости
§ 7 Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов .
§ 8 Метод Зейделя
§ 9 Метод наискорейшего градиентного спуска
§ 10 Метод сопряженных градиентов .
§ 11. Метод Монте-Карло решения систем линейных уравнений § 12. Итерационные методы с использованием спектрально эквивалент-
ных операторов
13 Погрешность приближенного решения системы уравнений и обусловленность матриц Регуляризация 388
14 Проблема собственных значений 394
Решение полной проблемы собственных значений для симме 400
§ 15
тричной матрицы методом вращений
Тлава VII Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации 405
1. Метод простой итерации и смежные вопросы . 4Э7
2 Метод Ньютона решения нелинейных уравнений 411
3 Другие методы решения одного уравнения … 416
4 Методы спуска …. . 420
5 Другие методы сведения многомерных задач к задачам меньшей
размерности . …. 425
6 Решение стационарных задач путем установления 429
7 Что оптимизировать\’ … 436
§ 8 Как оптимизировать\’
ЧАСТЬ III. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
VIII. Численные методы решения задачи Кош и
Разложение решения в ряд Тейлора …
Методы Рунге — Кутта ….
Методы с контролем погрешности на шаге . . .
Оценка погрешности одношаговых методов . .
Конечно-разностные методы . . .
Метод неопределенных коэффициентов
Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах …. . 476
Оценка погрешности конечно-разностных методов . . 483
Главный член погрешности 488
Изучение свойств конечно-разностных методов на более точных
моделях . . . 493
Интегрирование систем уравнений . …. 502
Ряд общих вопросов 512
Формулы численного интегрирования уравнений второго порядка 519
Оценка погрешности численного решения задачи Коши для урав¬
нения второго порядка
Двусторонние методы
Глава IX Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 1 Простейшие методы решения краевой задачи для уравнения
второго порядка
§ 2. Функция Грина сеточной краевой задачи
§ 4. Замыкания вычислительных алгоритмов
§ 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого порядка
§ 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка
§ 7. Методы дифференциальной ортогональной прогонки
§ 8. Нелинейные краевые задачи
§ 9. Аппроксимации специального типа
§ 10. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений
§ 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования
§ 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы
записи конечно-разностного уравнения
§ 13. Оценка вычислительной погрешности при решении краевой задачи методом прогонки
Список литературы
Предметный указатель
