Решение уравнений эллиптического типа

Кафедра математического моделирования
Лабораторная работа №9
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

1. Цель и задачи работы
Целью работы является формирование у студентов понимания некоторых аспектов построения численных моделей уравнений математической физики с использованием ме-тода разностной аппроксимации, отработка навыков применения типовых алгоритмов для решения линейных уравнений эллиптического типа, формирование представления о дос-тигаемой точности, необходимых ресурсах и областях применения изучаемых методов.
Задачи:
— изучение методов построения разностных моделей задач на основе уравнений эл-липтического типа;
— изучение алгоритмов решения уравнений эллиптического типа на основе разност-ных моделей с использованием алгоритмов решения стационарных задач и методом счёта на установление.

2. Теоретическая справка
Уравнения эллиптического типа используются для описания стационарных состоя-ний изучаемых объектов и отыскания функций многих переменных, характеризующих распределение параметров состояния по объёму объекта. Для решения задач этого типа используются два принципиально разных подхода.
1. Нахождение решения на основе разностной модели уравнения эллиптического типа, дополненного разностными аппроксимациями соответствующих граничных усло-вий. Решение полученных систем разрешающих соотношений осуществляется обычными итерационными методами. При этом итерационные процессы могут строиться на основе согласованных по точности аппроксимаций исходного уравнения и граничных условий, а также посредством реализации итерационных процессов, в ходе которых могут уточнять-ся граничные условия (метод Либмана).
2. Нахождение решения эллиптической задачи как предельного решения задачи для уравнения параболического типа. Особенностью такого подхода является выбор опти-мальной разностной модели, обеспечивающей возможность получения устойчивого реше-ния при минимальных вычислительных затратах. Наиболее удобными являются эконо-мичные схемы, построенные на основе расщепления разностной модели на совокупность систем разрешающих уравнений, имеющими явный характер по одной переменной и не-явный – по другой. Последнее обстоятельство позволяет уменьшить число вычислитель-ных операций за счёт использования экономичных методов прогонки. К недостаткам этого подхода следует отнести сложность аппроксимации граничных условий с точно-стью, адекватной точности аппроксимации исходного уравнения при произвольном кон-туре границы.

3. Объект исследования
Объектом исследования является задача, сформированная на основе уравнения эл-липтического типа.
Решение может быть реализовано:
— на пакете программ (программное обеспечение кафедры, программа «Math»), включаю¬щих изучаемые методы;
— на основе самостоятельно разработанной программы, созданной в среде «Pascal» или «MathCAD».

4. Задание на выполнение работы
Часть 1. Построение аппроксимации задачи с использованием метода разностной аппрок-симации.
1. Построить аппроксимацию уравнения:
• На шаблонах типа «крест» дельта окрестности точки сеточной области Dh.
• Оценить точность аппроксимации уравнения
2. Построить аппроксимацию граничных условий, согласовав точность аппроксимации с точностью приближения исходного уравнений (используя метод линейной аппрокси-мации).
Часть 2. Построить решение задачи, используя:
• Итерационные методы нахождения решений разрешающих соотношений (ме-тоды простой итерации, Зейделя,..)
• Метод Либмана
Часть 3. Решение задачи методом счета на установление
1. Построить аппроксимацию задачи, приняв за основу уравнение параболического типа и используя для построения разрешающих соотношений экономичные схемы (схемы расщепления)
2. Оценить точность аппроксимации задачи.
3. Оценить число итераций, необходимых для получения с заданной точностью
Часть 3. Сравнить полученные решения

В расчетах принять точность вычислений ε =0,001
и диапазон вычислений ограничить интервалом 0-Т=10 сек.
5. Выполнение работы…………..

Скачать полную версию можно по ссылке…
СКАЧАТЬ работу