Основы спектрального анализа. Интеграл Фурье

Лекция 8 спецглавы высшей математики
РАЗДЕЛ 2. ОСНОВЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА.
§11. Интеграл Фурье.
11.1. Предельный переход от ряда Фурье к нитегралу Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье.
11.2. Поняти о спектрах.Лекция 8
РАЗДЕЛ 2. ОСНОВЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА.
§11. Интеграл Фурье.
11.1. Предельный переход от ряда Фурье к нитегралу Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье.
11.2. Поняти о спектрах.

ЛЕКЦИЯ 8.

1. Основы спектрального анализа.
2. Интеграл Фурье. Его комплексная форма.
3. Понятие о спектрах.

§ 11. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье.
11.1. Предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье.

Ряд Фурье является удобным аппаратом для представления периодиче-ских функций. Интеграл Фурье является естественным обобщением ряда Фурье на непериодические функции.
Теорема 15.
Если функция ƒ(t) кусочно –дифференцируема на любом конечном ин-теграле числовой оси (условие Дирихле) и удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, т.е. интеграл существует, то такая функция ƒ(t) представима интегралом Фурье.
Напомним, что функция ƒ(t) называется кусочно–дифференцируемой на интеграле (b,d), если как сама функция ƒ(t), так и её производная ƒ\'(t) имеют этом интервале конечное число разрывов непрерывности 1–го рода.
Рассмотрим периодическую функцию *(t) с периодом Т, удовлетворяю-щую следующему условию:

Тогда, т.к. функция может быть разложена в ряд Фурье, то, очевидно, на интервале [-T/2;T/2] и функция ƒ(t) может быть представлена рядом Фурье.
Составим частичную сумму:
(при n**, ƒn(t)*ƒ(t)).
Где *****

Чтобы в дальнейшем не путать переменную интегрирования с временем (аргументом) t, обозначим её через *.
Подставив значения коэффициентов в выражение для частичной суммы (61), получим:

Обозначим 2*/T=** – частоту первой гармоники разложения. Тогда………………………….

Скачать полную версию можно по ссылке…