Элементы теории функции комплексного переменного

Лекция 1. спецглавы высшей математики
§1. Комплексные числа и действия над ними.
1.1. Понятие комплексного числа.
1.2. Геометрическая интерпритация комплексного числа.
1.3. Операции над комплексными числами.
§2. Понятие функции комплексного переменного.
2.1. Последоватедьность комплексных чисел.
2.2. Стереографическая прекция. Бесконечно удаленная точка.
2.3. Понятие функции комплексного переменного.
§3. Дифференцирование функций комплексного переменного.
3.1. Понятие предела функции комплексного переменного.
3.2. Непрерывность функции комплексного переменного.
3.3. Производная функции комплексного переменного.
3.4. Условия Коши – Римана.

Лекция 1.
§1. Комплексные числа и действия над ними.
1.1. Понятие комплексного числа.
1.2. Геометрическая интерпритация комплексного числа.
1.3. Операции над комплексными числами.
§2. Понятие функции комплексного переменного.
2.1. Последоватедьность комплексных чисел.
2.2. Стереографическая прекция. Бесконечно удаленная точка.
2.3. Понятие функции комплексного переменного.
§3. Дифференцирование функций комплексного переменного.
3.1. Понятие предела функции комплексного переменного.
3.2. Непрерывность функции комплексного переменного.
3.3. Производная функции комплексного переменного.
3.4. Условия Коши – Римана.

1. Введение.
2. Понятие функции комплексного переменного.
3. Дифференцирование функций комплексного переменного.
4. Условия Коши – Римана.

ВВЕДЕНИЕ.

Квалификационная ценность современного специалиста в значительной мере определяется уровнем его математической подготовки.
Общий курс высшей математики, читаемой в институте не дает доста-точной подготовки для восприятия идей теории автоматического управления. Между тем, теория автоматического управления базируется на ряде специаль-ных разделов высшей математики.
Данный курс лекций включает следующие разделы:
элементы теории функции комплексного переменного, основы спектрального анализа, основы дискретного преобразования Лапласа в разностные уравнения.
Каждый из перечисленных разделов дает инструмент исследования бу-дущему специалисту при изучении сложных процессов в системах автоматиче-ского управления.
Так, например, аппарат теории функции комплексного переменного дает удобные частотные критерии устойчивости. Кроме того, комплексные пере-менные чрезвычайно удобны для описания двумерных векторов. Недаром французский математик Ж. Адамар (1865-1963) сказал, что, «наиболее корот-кий и наилучший путь между двумя истинами в вещественной области часто проходит через мнимую область». Весьма широко распространенные частотные методы анализа и синтеза САУ предполагают работу с частотными характери-стиками систем, связанными со спектральным представлением сигналов.
Преобразование Лапласа, как замечает Г. Деч «включает в себя идеи спектрального представления, однако выходит далеко за рамки этих идей. Под-линное значение преобразования Лапласа заключается в том, что оно преобра-зует функцию времени в аналитическую функцию, которую можно рассматри-вать как распространение спектральной плотности на комплексную плотность. Кроме того, эта аналитическая функция передает свойства функции времени значительно более современным образом, чем спектральная плотность…» Ап-парат операционного исчисления дает компактные методы определения про-цессов, протекающих в системах.
Аппарат дискретного преобразования Лапласа используется для иссле-дования импульсных систем автоматического управления и в ряде прикладных задач, связанных с решетчатыми функциями и разностными уравнениями.
Суммируя выше изложенное, можно сказать, что основной целью дан-ного курса является изложение математического аппарата, значение которого необходимо студентам специальностей 1811, 1812 и 1907 для последующего изучения курса «Теория автоматического управления». Материал данного кур-са используется также при изучении ряда дисциплин специализации.

§ I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

I.I. Комплексные числа.

Комплексным числом z называется выражение вида z=x+jy, где х и у- действительные числа,
j – мнимая единица, подчиняющаяся закону j2 = — I.
Заметим, что мнимая единица j не имеет ничего общего с числом, как орудием счета; j – есть некоторый символ.
Из определения мнимой единицы следует, что j2 = — I, j3 = — j, j4 = I и т.д.
Обычно называют
х – действительной частью комплексного числа, х=Re z;
jy — мнимой частью комплексного числа;
у – коэффициентом при мнимой части, у=Im z.
При у=0 комплексное число z=x+j0 записывают как z=x и отождест-вляют с действительным числом х. Поэтому говорят, что совокупность дейст-вительных чисел R является подмножеством множества комплексных чисел С: R?C.
При х=0 комплексное число z=0+jy записывают как z=jy и при у?0 называют чисто мнимым числом.
Полагают, что z=0 при х=0 и у=0.
Два комплексных числа z1=x1+jy1 и z2=x2+jy2 равны тогда и только то-гда, когда равны их действительные и мнимые части………….

Скачать полную версию можно по ссылке…
СКАЧАТЬ работу